Problemas de parada óptima

Abstract

Este trabajo estudia los problemas de parada óptima en el contexto de procesos estocásticos, con un enfoque particular en difusiones de Itô. El objetivo es determinar el tiempo de parada óptimo que maximiza el valor esperado de una función de pago que depende de la trayectoria del proceso. Partiendo de la formulación clásica introducida en el análisis secuencial, la monografía desarrolla el marco teórico necesario para analizar estos problemas en tiempo continuo. El estudio comienza con el caso de funciones de pago homogéneas en el tiempo, no negativas y continuas, estableciendo conceptos clave como tiempos de parada, filtraciones y funciones superarmónicas (supermeanvalued). Un resultado central muestra que la función valor del problema de parada óptima coincide con el menor mayorante superarmónico de la función de pago. El trabajo proporciona métodos constructivos para obtener este mayorante y demuestra resultados de existencia y aproximación mediante tiempos de parada ε-óptimos. La teoría se extiende luego a contextos más generales, incluyendo funciones de pago no homogéneas y problemas que involucran funcionales integrales. Se presenta un teorema de verificación para caracterizar la optimalidad, y se discuten condiciones de existencia y unicidad de tiempos de parada óptimos. La monografía también destaca casos en los que el tiempo de parada óptimo no existe. Finalmente, se exploran métodos de simulación para ilustrar los resultados teóricos y proporcionar intuición numérica sobre estrategias de parada óptima.