Una formulación mixta para el problema de Poisson fraccionario

Abstract

La formulación mixta del problema de Poisson clásico consiste en introducir un flujo como nueva variable con condiciones de borde adecuadas, obteniendo un sistema de ecuaciones acopladas. Usando identidades del cálculo fraccionario, en este trabajo exploramos una formulación mixta del problema de Poisson fraccionario y probamos que el problema está bien planteado. Una discretización directa del problema no parece posible, por lo que siguiendo ideas de Hughes y Masud introducimos una formulación estabilizada, que da lugar a un problema coercivo y bien planteado. La coercividad implica que cualquier discretización por elementos finitos conforme sea estable. Por último, obtenemos la convergencia de estas discretizaciones y discutimos su implementación.

The mixed formulation of the classical Poisson problem consists in the introduction of a flux as a new variable with adequate boundary conditions, resulting in a system of coupled equation system. Using fractional calculus identities, in this work we explore a mixed formulation of the fractional Poisson problem and prove the well-posedness of the problem. A direct discretization of this problem seems out of reach, by following Hughes and Masud we are able to introduce a stabilized formulation that results in a coercive and well-posed problem. The coercivity implies that any confirming finite element discretization is stable. Lastly, we prove the convergence of this discretization and discuss its implementations.