Estimaciones computacionales en modelos mixtos lineales generalizados (GLMM)

Abstract

En este trabajo se busca explorar los modelos mixtos lineales generalizados (GLMM) y sus desafiantes estimaciones de parámetros por máxima verosimilitud. La función de verosimilitud asociada a estos modelos tiene sus valores funcionales expresados por medio de integrales de Riemann evaluadas en subconjuntos de espacios euclídeos de altas dimensiones. Por lo tanto, hallar las estimaciones por máxima verosimilitud es encontrar los valores que maximizan las integrales de las cuales depende la verosimilitud. En general, las integrales obtenidas de modelos GLMM aplicados a casos reales no son calculables analíticamente, debido a que una primitiva no es expresable por funciones elementales, o bien no hay métodos de cálculo que permitan obtenerla de forma efectiva. En las aplicaciones reales no es suficiente saber que existe la estimación máximo verosímil, sino que es necesario encontrar su valor al menos de forma aproximada. Los métodos de estimación Monte Carlo se presentan como alternativas atractivas, ya que suelen ser simples de implementar y convergen al verdadero valor del parámetro. Sin embargo, en muchos casos la convergencia es lenta con respecto al tamaño muestral. Por lo tanto, las técnicas Monte Carlo pueden demandar mucho esfuerzo computacional y tiempo de ejecución para obtener estimaciones cercanas a los valores verdaderos y desconocidos de los parámetros. Esto ha motivado la búsqueda de estrategias para acelerar su convergencia.

En el presente trabajo se explora la estrategia de Knudson (2016), la cual consiste en aproximar la entera función de verosimilitud de un modelo GLMM a través de un muestreo de importancia con una densidad elegida adecuadamente y dependiente de los datos. El trabajo de Knudson se basa en estrategias similares y muy bien estudiadas (Sung y Geyer, 2007; Geyer, 1994), en las que radica el método Monte Carlo de aproximación de la verosimilitud (MCLA). El conjunto de datos utilizado en Knudson (2016) corresponde a un experimento que se realizó en 1986 por científicos del Departamento de Ecología y Evolución en la Universidad de Chicago para estimar las probabilidades de apareamiento efectivo entre salamandras de diferentes especies. Dichas probabilidades son relevantes para un biólogo interesado en la especiación. El biólogo está interesado en saber los valores de las estimaciones de las probabilidades, no le alcanza con solo saber que existen. Se destaca que aún hoy en día este conjunto de datos se sigue utilizando como referencia para evaluar el desempeño de nuevos modelos y métodos de estimación. Un modelo GLMM incorpora de forma natural las probabilidades de apareamiento, ya que contempla el aporte personal de cada salamandra (efectos individuales) y permite trabajar con variables de respuesta no todas independientes entre sí. Por otra parte, un GLMM presenta el desafío de obtener las estimaciones paramétricas por máxima verosimilitud