Procesos de Markov y su aplicación a la genética de poblaciones

Abstract

El modelo de Wright-Fisher es un modelo clásico dentro de la genética de poblaciones. Éste modela la evolución de la frecuencia de un alelo en una población de tamaño N como una cadena de Markov discreta y con espacio de estados finitos. Debido a la complejidad de las probabilidades de transición de esta cadena, ciertas preguntas no pueden ser resueltas —al menos, no de forma satisfactoria, por la teoría de cadenas de Markov. Históricamente la forma de resolver estas preguntas fue aproximando el modelo discreto por un proceso markoviano continuo, más en particular, por una difusión. Esta aproximación, además de resolver estas preguntas, es útil para estudiar extensiones del modelo de Wright-Fisher a situaciones más complejas. La presente monografía introduce al modelo de Wright-Fisher clásico y su extensión al caso en donde la población está bajo un régimen de selección natural y para cuando existen probabilidades positivas de mutación. Se mostrará la forma de las probabilidades de transición de esta cadena de Markov y se mostrará cómo se puede conseguir un proceso de difusión límite a partir de estas. El estudio de las difusiones será desde dos puntos de vista: uno, teórico, el otro, computacional. El punto de vista teórico pretende estudiar, mediante herramientas de análisis funcional y ecuaciones diferenciales estocásticas, algunos resultados teóricos sobre las trayectorias del proceso de difusión. El punto de vista computacional se centrará en la simulación de estas trayectorias y su visualización.