Aproximación numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

Abstract

Este libro tiene su origen en un curso que dicté para las licenciaturas de Matemática y de Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad de la República. El mismo brinda las nociones básicas que permiten aproximar una ecuación diferencial ordinaria. Esto significa, básicamente, describir un algoritmo que permite obtener una secuencia de números que se aproximan al valor de la solución de la ecuación para varios tiempos definidos. Para saber si el algoritmo funciona bien, es decir, si proporciona efectivamente números cercanos a los valores de la solución exacta y si se comporta de manera razonable cuando modificamos los parámetros, las matemáticas son imprescindibles. Es, particularmente, el rol del análisis numérico asegurar que el método de aproximación funcione bien o señalar sus fallas. Quise hacer algo muy introductorio que reflejara parte de mi propia experiencia en investigación y que requiriera solo un mínimo de conocimientos previos, en la línea de los libros de M. Crouzeix y A. L. Mignot [16], y de J. P. Demailly [17]. También busqué hacer algo que no solo se dedicara a ecuaciones diferenciales, sino que también pudiera servir como una introducción al análisis numérico en general, y que pudiera extenderse después a las ecuaciones en derivadas parciales. De hecho, para ecuaciones en derivadas parciales que dependen del tiempo, como la ecuación del calor o la ecuación de ondas, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias una vez realizada la discretización espacial con algún método como diferencias finitas, volúmenes finitos o elementos finitos. Existen varios libros dedicados al tema, por ejemplo, los clásicos de A. Iserles [46], J. D. Lambert [49], y los de E. Hairer y G. Wanner y coautores [36], [37], [38], [39]. Además, varios libros clásicos generales de análisis numérico tratan de aproximación de ecuaciones diferenciales ordinarias, por ejemplo, los de W. Gander, M. J. Gander y F. Kwok [33], W. Gautschi [34], J. H. Hubbard y F. Hubert [44], J. Rappaz y M. Picasso [53], M. Schatzman [56] y el de E. Suli y D. F. Mayers [60]. Sin duda, recomiendo consultar las referencias mencionadas anteriormente y varias otras para profundizar en el tema, además de descubrir otros aspectos. Por otra parte, recomiendo probar los códigos Python asociados a los diversos métodos y ejemplos (la mayor parte estando disponibles también en la web [12]). Franz Chouly