Some interactions between expansive dynamics and mathematical logic

Abstract

Esta tesis explora la propiedad de la expansividad en sistemas dinámicos desde tres perspectivas fundamentales: la cuantitativa, la conjuntista y la topológica. En el contexto de los espacios métricos compactos, se establece un criterio cuantitativo que vincula la existencia de pares doblemente asintóticos con el decaimiento de las constantes de expansividad. Empleando métricas hiperbólicas autosimilares, se obtiene una caracterización precisa del decaimiento exponencial de dicha constante. En una segunda línea, el estudio se extiende a acciones de grupo sobre espacios ordinales. A través de una formulación de expansividad por cubrimientos se caracteriza qué espacios ordinales admiten una acción expansiva (continua o CB–estable). Este resultado generaliza el teorema de Kato–Park a ordinales no numerables y permite establecer una cota inferior para la cardinalidad del grupo actuante. Una de las contribuciones de esta tesis es relacionar la expansividad con la Hipótesis Generalizada del Continuo (GCH). A partir de esa conexión se define la Expansive Generalized Continuum Hypothesis EGCH(λ), demostrando que EGCH(ℵ₀) es un teorema de ZFC. Se aísla y formaliza el núcleo combinatorio que subyace a este vínculo. Además, se introduce la jerarquía DGCHₙ(λ) y se prueban sus propiedades de consistencia relativa con ZFC y de monotonía. Por último, la investigación aborda la expansividad en espacios métricos no compactos. Se demuestra que, para espacios LCσ, la independencia de la métrica es equivalente a la expansividad cocompacta y a la existencia de una extensión expansiva a la compactificación de Alexandroff, concluyéndose con un análisis de su relación con la compactificación no estándar.