Monotonicity formulas via parabolic-to-elliptic transformations: applications to the Ricci flow and fractional heat operators

Abstract

Esta investigación aborda el desarrollo de una teoría unificada de transformaciones parabólico-elípticas, que interpreta ecuaciones diferenciales parciales parabólicas como límites en alta dimensión de sus contrapartes elípticas. Con base en lo anterior, se trabaja en primera instancia en la conexión a operadores fraccionarios, permitiendo nuevas derivaciones de fórmulas de monotonía para ecuaciones parabólicas fraccionarias a partir de resultados elípticos conocidos. Como resultado central, se establece la primera fórmula de monotonía para la ecuación parabólica fraccionaria semilineal (∂t − Δ)su = |u|p−1u, obteniendo un análogo fraccionario de la célebre fórmula de monotonía de Giga-Kohn y extendiendo así estas técnicas más allá de su contexto original local. En segunda instancia se profundiza sobre la comprensión geométrica de la relación entre el volumen monotónico introducido por Colding y el funcional de entropía de Perelman en el flujo de Ricci.