Búsqueda de la conectividad óptima en sistemas complejos

Abstract

El estudio de sistemas dinámicos acoplados es fundamental para comprender fenómenos colectivos en diversos campos, donde múltiples unidades interactivas exhiben comportamientos emergentes. Dentro de este marco, los mapas logísticos acoplados se destacan como un modelo potente para capturar dinámicas no lineales y caóticas, ofreciendo un laboratorio ideal para explorar cómo la arquitectura de las interacciones moldea la dinámica colectiva. Esta tesis se centra en las interacciones y dinámicas emergentes en redes complejas formadas por mapas logísticos acoplados, investigando cómo la topología de la red y el régimen de acoplamiento determinan la sincronización, la propagación de información y la inferencia de conexiones estructurales. La plataforma experimental, basada en la implementación electrónica de estos mapas acoplados, mostró robustez y fue validada al analizar el mapa logístico aislado (constante de Feigenbaum, exponentes de Lyapunov, diagramas de bifurcaciones). Para el análisis de la dinámica colectiva, se utilizaron herramientas de información mutua y entropía para cuantificar las dinámicas emergentes. Los resultados experimentales demostraron que las configuraciones de red que maximizan tanto la generación como la transmisión de información tienden a alcanzar cierto grado de sincronización caótica. Medidas combinadas de entropía e información mutua, permitieron evaluar la eficiencia informacional de cada configuración, mostrando que es posible alcanzar altos niveles de transmisión sin recurrir a redes densamente acopladas, lo que subraya el rol determinante de la arquitectura de la red en la dinámica y funcionalidad de sistemas complejos. Previo a la región de sincronización caótica, todas las configuraciones analizadas exhiben una fase intermedia caracterizada por una alta generación de información en los nodos individuales, pero con una baja transmisión entre ellos, revelando caos espacio-temporal, comportamiento que sugiere la presencia de una transición de fase con características híbridas. En esta tesis se propone una nueva magnitud que cuantifica la información generada por cada mapa en función de los regímenes de transmisión de información global de la red. Esta magnitud demostró ser robusta a variaciones del acoplamiento, ofreciendo un criterio práctico para clasificar configuraciones según las dinámicas. Asimismo, el análisis de correlación entre las señales individuales y el campo medio global reveló que el valor medio del coeficiente de correlación inicial sigue una ley de potencia respecto al tamaño del sistema, evidenciando una regularidad en la forma en que los nodos se acoplan al conjunto. Estos resultados sobre la dinámica y la información generada en la red fueron claves para abordar la inferencia de enlaces, identificándose un intervalo de intensidad de acoplamiento favorable, caracterizado por una alta generación de información en ausencia de sincronización completa. Este régimen dinámico intermedio maximiza la capacidad de identificar y analizar las conexiones estructurales entre los nodos a partir de la dinámica observada, al permitir la interacción óptima entre la entropía individual y la coherencia colectiva. Adicionalmente, se propuso y validó una expresión para aproximar la distancia resistiva de una red a partir únicamente del espectro de valores propios de su matriz laplaciana, en redes sintéticas y corticales. Se derivó también una expresión para la centralidad del vector propio que depende exclusivamente de los valores propios de la matriz de adyacencia, eliminando la necesidad de calcular los vectores propios, ofreciendo una significativa ventaja computacional. Este trabajo contribuye al entendimiento de la relación fundamental entre estructura, dinámica e información en sistemas complejos. Ofrece metodologías robustas y resultados cuantitativos concretos para el análisis y la inferencia de redes donde las interacciones no son directamente observables, abriendo nuevas vías para la comprensión de la autoorganización y adaptación de sistemas complejos.

The study of coupled dynamical systems is fundamental to understanding collective phenomena across diverse fields, where multiple interacting units exhibit emergent behavior. In this context, coupled logistic maps serve as a powerful model for capturing nonlinear and chaotic dynamics, providing an ideal framework for exploring how interaction architecture shapes collective behavior. This work focuses on interactions and emergent dynamics in complex networks composed of coupled logistic maps, investigating how network topology and coupling regime determine synchronization, information propagation, and the inference of structural connections. The experimental platform, based on an electronic implementation of coupled logistic maps, exhibited robustness and was validated through the analysis of the isolated logistic map (Feigenbaum constant, Lyapunov exponents, bifurcation diagrams). For the analysis of collective dynamics, mutual information and entropy tools were used to quantify emergent dynamics. Experimental results indicated that network configurations that maximize both information generation and transmission tend to achieve a degree of chaotic synchronization. Combined measures of entropy and mutual information were used to evaluate the informational efficiency of each configuration, revealing that high levels of transmission can be achieved without resorting to densely coupled networks. This highlights the determining role of network architecture in the dynamics and functionality of complex systems. Before the onset of chaotic synchronization, all analyzed configurations exhibit an intermediate phase characterized by high information generation at individual nodes and low transmission between them. This regime reveals spatiotemporal chaos and suggests the presence of a phase transition with hybrid characteristics. A novel informational quantity is introduced to quantify the information generated by each map, based on the overall transmission regime of the network. This quantity proved to be robust to variations in coupling , offering a practical criterion for classifying configurations according to their dynamics. Likewise, correlation analysis between individual signals and the global mean field revealed that the average initial correlation coefficient follows a power-law relationship with system size, indicating a regularity in the way nodes couple to the whole. These results on the dynamics and information generated in the network were key to addressing link inference, identifying a favorable coupling strength range characterized by high information generation in the absence of complete synchronization. This intermediate dynamical regime enhances the ability to identify and analyze structural connections between nodes based on observed dynamics by allowing for the optimal interaction between individual entropy and collective coherence. Additionally, an expression was proposed and validated to approximate the resistive distance of a network based solely on the spectrum of eigenvalues of its Laplacian matrix in synthetic and cortical networks. An expression for eigenvector centrality was also derived, depending only on the eigenvalues of the adjacency matrix, eliminating the need to calculate eigenvectors and offering a significant computational advantage. This work contributes to the understanding of the fundamental relationship between structure, dynamics, and information in complex systems. It provides robust methodologies and concrete quantitative results for the analysis and inference of networks where interactions are not directly observable, opening new avenues for understanding the self-organization and adaptation of complex systems.