Grupo de renormalización no perturbativo de los modelos O(N): explorando la simetría conforme

Abstract

Existe un amplio conjunto de sistemas físicos de interés compuestos por un gran número de componentes que interactúan entre sí. Dichas interacciones son, en general, locales, y las correlaciones entre componentes del sistema decaen exponencialmente con la distancia. No obstante, existen situaciones físicas en las cuales estos mismos sistemas se muestran fuertemente correlacionados, con sus componentes interactuando de forma efectiva a grandes distancias, por lo cual su estudio requiere de herramientas especialmente desarrolladas para tal fin. Tal es el caso de los fenómenos críticos o transiciones de fase de segundo orden. Adicionalmente, en el régimen crítico, los sistemas presentan a grandes distancias simetrías emergentes, tales como invariancia ante transformaciones de escala o, incluso, invariancia ante todas las transformaciones que conservan los ángulos, denominadas transformaciones conformes. Particularmente, para los modelos escalares O(N) esta simetría ha sido conjeturada, y probada para algunos casos. En esta tesis exploraremos la realización de la simetría conforme, y la información y consecuencias que de esta podemos extraer. El grupo de renormalización de Wilson, o su versión moderna, el grupo de renormalización no perturbativo, es una herramienta o marco teórico desarrollado, precisamente, para el estudio de la física de los fenómenos críticos. Esta herramienta constituye un marco conceptual exacto que permite abordar los sistemas fuertemente correlacionados. A pesar de esto, salvo algunas excepciones, es necesario la implementación de técnicas o desarrollos aproximados que permitan hacer predicciones o cálculos concretos del comportamiento de los sistemas con correlaciones de larga distancia. Dentro del grupo de renormalización no perturbativo, uno de los esquemas de aproximación más utilizados para el cálculo de propiedades críticas es el Desarrollo en Gradientes. Este esquema permite estudiar el comportamiento de los sistemas a grandes distancias y, en los últimos años, ha alcanzado niveles de precisión muy elevados. Esto se debe, en particular, a que se han comenzado a comprender las propiedades de convergencia de dicho método gracias a la identificación de un pequeño parámetro que controla el desarrollo. A pesar de estos avances en la comprensión del comportamiento del desarrollo en gradientes, la convergencia del método es aún un problema abierto. En esta tesis se estudiaron, en el marco del grupo de renormalización no perturbativo, las teorías escalares O(N). Esto se hizo desde dos ángulos: analíticamente, considerando el límite N grande, y numéricamente, con el Desarrollo en Gradientes, abordando valores finitos de N. En primer lugar, el estudio analítico del comportamiento de los sistemas en el límite N → ∞ resulta de gran interés debido a que el modelo se sabe tratar de forma exacta. Esto da lugar a un terreno de prueba ideal donde es posible analizar las propiedades de simetría de un sistema con interacciones intensas de manera exacta. Por un lado, investigamos la realización de la simetría conforme en este límite, lo cual a la fecha es un resultado esperado, pero no demostrado. Por otro, estudiamos las restricciones que supone asumir dicha invariancia conforme en el régimen crítico, sobre las funciones de correlación en este límite. En segundo lugar, empleando el Desarrollo en Gradientes estudiamos diversos modelos escalares O(N). Partimos de suponer la simetría conforme, y a partir de las restricciones que su cumplimiento supone, extrajimos predicciones sobre el comportamiento a grandes distancias de estos modelos en el régimen crítico, utilizando este esquema de aproximación. Concretamente, estudiamos un método de determinación de cantidades físicas basado completamente en minimizar la ruptura de la simetría conforme – lo cual sucede producto de las aproximaciones realizadas – viendo cómo se compara con las técnicas establecidas en la literatura.