Structures hyperboliques et propriétés robustes des flots singuliers

Abstract

A property of a dynamical system is called Cr-robust if it holds on a Cr-open set of systems. For diffeomorphisms or for non-singular flows, there are many results relating C1-robust properties and global structures of the dynamics, as hyperbolicity, partial hyperbolicity, dominated splitting. However, a difículty appears when a robust property of a ow holds on a set containing recurrent orbits accumulating a singular point. This phenomenon is mainly understood in dimension 3, but till now it remained the main obstruction in order to recover these kind of results for singular flows. First, construct a robust example in a 5 dimensional manifold, of a a star flow containing 2 singularities of different indexes in the same chain recurrence class. This allows us to show that a direct generalization of the results in dimension 3 for singular star flows is notpossible. i.e. There are open sets of star flows that are not singular hyperbolic in the classical sense. Secondly, with Christian Bonatti we propose a a general procedure for adapting the usual hyperbolic structures to the singularities, opening the door for bypassing the difficulty of the coexistence of singular and regular orbits. In particular, this new definition allows us to adapt the proof in [MPP] to get a characterization of star flows on a C1-open and dense set. And third , using the same tool described above,we partially recover the results in [ABC] and [BDP] for flows, showing that there is a C1-open and dense set of vector fields such thata flow having a robustly chain transitive sets has a weak form of hyperbolicity. This shows that the way we propose to interpret the effect of singularities, has the potential to adapt to other settings in which there is coexistence of singularities and regular orbits with the goal of reobtaining the results that we already know for diffeomorphisms.

S’il existe un ensemble ouvert dans la topologie Cr qui satisfait une certaine propriété, alors on dit éque la propriété est Cr-robuste. Tant pour diféomorphismes comme pour flots non singuliers, on a beaucoup de résultats à propos de porpriétés C1-robustes et structures globales de la dynamique, par exemple l’hyperbolicité, l’hyperbolicité partielle ou les splittings dominés. En outre, plusieures difficultées se présentent lorsqu’une propriété robuste est satisfaite pour un ensemble d’orbites contenant orbites regulières qui s’accumulent contre des singularitées. Ce phénomène est compris surtout en dimension 3, mais jusqu’à présent il était un problème généraliser ce genre de résultats pour dimensions majeures. Ce travail construit, en première instance, un ouvert de examples en dimensión 5 d’un flot étoile qui contient 2 singularitées avec diffrents indice, robustemment dans la même classe de récurrence par chaînes. Celà nous permet montrer qu’une généralisation directe des résultats qu’on a en dimmension 3 ne saurait être posibleê en dimensions plus hautes. En effet, on a des ensembles ouverts de flots étoile qui ne sont pas robustemment transitifs au sens classique. Dans une deuxième instance, avec Christian Bonatti, on propose un procédé général pour adapter les structures hyperboliques usuelles aux singulières. On croit que cette interprétation de’effet des singularitées sur les structures hyperboliques, ouvre un chemin pour traiter avec la difficulté de la coéxistance robuste de singularitées et d’orbites régulières. En particulierm cette nouvelle définition nous permet de généraliser la démontration de [MPP] pour obtenir une caractérisation des flots étoile dans un ouvert dense en toute dimension. Finalement, en utilisant la même stratégie mentionnée préécédemment, on récupère les résultats de [ABC] et [BDP] pour des flots. On montre il y a un ouvert et dense des flots dans le quel un flot avec une classe de récurrence robuste a un type d’hyperbolicité faible. Ceci montre que la manière qu’on propose pour interpréter les singularitées a le potentiel de s’adapter aux diverses situations dans lesquelles coéxistent les singularitées avec les orbites régularitéesé avec l’objectif de retrouver les résultats pour des difféomorphismes.

Una propiedad de un sistema dinámico es Cr- robusta si se cumple para un conjunto abierto de sistemas con la topología Cr. Para difeomorfismos o flujo no singulares, existen muchos resultados relacionando propiedades C1-robustas y estructuras globales de la dinámicas, como la hiperbolicidad, hiperbolicidad parcial o splittings dominados. Por otro lado existen dificultades cuando una propiedad robusta se cumple en un conjunto de órbitas conteniendo órbitas regulares que acumulan contra singularidades. Este fenómeno está bien entendido principalmente en dimensión 3, pero hasta ahora seguía siendo una obstrucción para generalizar este tipo de resultados en dimensiones más altas. En este trabajo en primer lugar construimos un avierto de ejemplos en dimensión 5 de un flujo estrella que contiene 2 singularidades de distinto índice, robustamente en la misma clase de recurrencia por cadenas. Esto nos permite mostrar que una generalización directa de los resultados en dimensión 3, no va a ser posible en dimensiones más altas, es decir, existen conjuntos abiertos de flujos estrella, que no son singularmente hiperbólicos en el sentido clásico. En segundo lugar, con Chrsitian Bonatti, proponemos un procedimiento general para adaptar las estructuras hiperbólicas usuales a las singularidades. Creemos que esta interpretación del efecto de las singularidades sobre las estructuras hiperbólicas, abre un camino para tratar con la ya mencionada dificultad de la coexistencia robusta de singularidades y órbitas regulares. En particular esta nueva definición nos permite generalizar la prueba en [MPP] para obtener una caracterización de los flujos estrella en un abierto y denso y para cualquier dimensión. En tercer lugar, usando la misma herramienta mencionada arriba recuperamos los resultados en [ABC] y[BDP] para flujos. Mostramos hay un avierto y denso C1 de campos en el que un flujo con una clase de recurrencia robusta tiene una forma de hiperbolicidad débil. Esto muestra que la manera que proponemos de interpretar las singularidades tiene el potencial de adaptarse a las diversas situaciones en las que coexisten singularidades y órbitas regulares con el fin de re obtener los resultados para difeomorfismos.