Grupos lineales y rango lineal: vínculos entre aritmética, geometría y dinámica

Abstract

Esta tesis aborda el estudio del rango lineal de un grupo, es decir, en el estudio de los posibles encajes del mismo en grupos de matrices y grupos de Lie. En particular, se analizan los posibles encajes del grupo G, donde G es el grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica compacta, en los grupos PSL2(R) y PSL2(R) x PSL2(R). Se prueba que toda representación inyectiva de G en PSL2(R) tiene imagen densa, y que en el caso de existir un encaje discreto en PSL2(R) x PSL2(R) las proyecciones en cada factor son densas, dando lugar a un subgrupo irreducible. Estos resultados se vinculan con conjeturas sobre la estructura de subgrupos discretos irreducibles en grupos semisimples, en particular, mostramos que tal encaje sería un contraejemplo a una establecida conjetura que dice que todo subgrupo irreducible de un grupo de Lie semisimple es necesariamente un lattice. En una segunda parte, se estudia la posibilidad de construir contraejemplos a tal conjetura basándonos en las dinámicas de tipo ping-pong, mostrando que ciertos enfoques, basados en aritmética y valores absolutos no-arquimedianos por un lado y representaciones de grupos de Lie reales por otro, no producen nuevos ejemplos.