Fractional operators: mixed formulations and applications

Abstract

La tesis estudia los problemas de ecuaciones en derivadas parciales que involucran operadores no locales. En particular, se centra en dos problemas principales. El primero de ellos consiste en una formulación mixta para el Laplaciano fraccionario. Probamos el buen planteo de esta formulación mediante la verificación de la condición inf-sup. Una discretización directa del problema no parece posible, ya que las construcciones usuales conformes en H(div) (por ejemplo, los elementos de Raviart -Thomas) no parecen tener un análogo natural en el contexto no local. Por ese motivo, se adapta el enfoque utilizado por Masud y Hughes (2002) en el caso local, para obtener un problema equivalente y coercivo. La coercividad implica que cualquier discretización por elementos nitos que sea conforme resultará estable. Además, se prueba el buen planteo del problema discreto, obtenemos tasas de convergencia y discutimos aspectos relacionados con la implementación del método. Finalmente, se realiza diversos experimentos numéricos que validan los resultados teóricos obtenidos. El segundo problema consiste en una relajación del modelo clásico de Oseen- Frank para cristales líquidos. Una característica destacada de estos materiales es la presencia de defectos, que corresponden a singularidades en el campo de orientaciones. El modelo clásico de Oseen -Frank no es capaz de capturar este fenómeno, ya que las singularidades de codimensión menor o igual a dos tienen energía in finta. Con el fin de abordar esta dificultad, proponemos relajar la energía de Oseen- Frank disminuyendo los requerimientos de diferenciabilidad del campo de orientaciones mediante el uso de operadores fraccionarios. En este trabajo se prueba la existencia de minimizantes para el problema y adaptamos el método presentado en Glowinski, Lin y Pan (2003) para una versión simplificada de la energía.