Condition number and random point configurations on the sphere

Abstract

En esta tesis se analizan dos enfoques diferentes para el problema de la resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas, así como diversas herramientas geométricas y probabilísticas necesarias para dichos enfoques. En la primera parte del trabajo se estudia el condicionamiento promedio de un sistema polinómico aleatorio indeterminado. Se comparan los valores esperados de los momentos del número de condición con los correspondientes a matrices aleatorias. Esta relación se obtiene mediante el análisis del problema de determinar el núcleo de matrices aleatorias. En particular, se calcula el segundo momento del número de condición de Frobenius. En la segunda parte de la tesis se centra la atención en los conjuntos de soluciones de polinomios aleatorios que surgen al considerar el problema de autovalores polinomiales para matrices aleatorias. Para estos conjuntos de soluciones se calcula la energía logarítmica esperada. Se generalizan algunos resultados conocidos para los polinomios de Shub-Smale y el spherical ensemble. Estos dos procesos representan los casos extremos del problema de autovalores polinomiales, y se demuestra que la energía logarítmica se encuentra entre dichos extremos. En particular, las raíces de los polinomios de Shub-Smale son las que presentan la menor energía logarítmica dentro de esta familia.