El Teorema de Gross-Zaiger

Abstract

El Teorema de Gross-Zagier, de gran relevancia en la Teoría de números, establece una conexión entre ciertos objetos algebraicos: puntos de Heegner asociados a una curva elíptica, y ciertos objetos analíticos: derivadas de L-series de Rankin. Una curva elíptica E tiene una L-serie asociada LE. Si LE(1) = 0, este teorema da una fórmula del tipo LE(1) = Cte · h(P) donde P es un punto de Heegner, que representa un punto racional especial de la curva, y h(P) es su altura. La altura de un punto es no nula si y sólo si dicho punto tiene orden infinito, por lo que cuando la derivada no se anula la fórmula anterior implica la existencia de infinitos puntos racionales. Se presentan las técnicas empleadas en la prueba de Gross-Zagier, que puede esencialmente dividirse en dos partes. Por una parte, el método de Rankin permite expresar el valor de la L-serie en 1 como el producto interno de Petersson entre dos formas modulares de peso 2 para luego calcular sus coeficientes de Fourier. Por otra parte, el lado derecho puede manipularse localmente distinguiendo el caso arquimediano del no arquimediano.