Orbifolds and Thurston maps

Abstract

Se estudia orbifolds asociados a mapas de Thurston. Un mapa de Thurston es un cubrimiento ramificado f : S2 → S2 en una 2-esfera tal que cadauno de sus puntos cr´ıticos tiene una ´orbita futura finita. El objetivo es establecer la fuerte relación entre los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y los cocientes de endomorfismos del toro (QOTEs). Un QOTE es un cubrimiento ramificado f : S2 → S2 tal que existe un cubrimiento F : T 2 → T 2 de grado d ≥ 2 en un toro, que es semiconjugado a f por un cubrimiento ramificado ρ : T 2 → S2. Demostramos que todo QOTE tiene un orbifold parabólico, abordando una pregunta inicialmente planteada en [1]. Además, mostramos que los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y sin puntos críticos periódicos son QOTEs. Para los mapas de Thurston con orbifolds hiperbólicos, desarrollamos un nuevo marco que implica levantar estos mapas a cubrimientos ramificados en superficies de mayor género. Esta generalización lleva a la introducción de una nueva definición que amplía el concepto de QOTE, y plantea nuevas preguntas.