Una prueba de la independencia de la hipótesis del continuo con reales aleatorios

Abstract

A partir de trabajos de Gödel y Cohen del siglo XX, sabemos que la hipótesis del continuo es independiente de la teoría de conjuntos de ZF. En base a esto, tenemos formas de construir modelos donde la hipótesis del continuo se cumple y modelos donde no se cumple. Respecto a los modelos en los que la hipótesis del continuo no se cumple, si bien se demuestra que efectivamente esta no se cumple, no parece haber una intuición clara detrás de la construcción, más allá de aspectos abstractos de cardinalidad. El objetivo motivador de este trabajo, fue dar una prueba de la consistencia relativa de la negación de la hipótesis del continuo en la que haya una explicación intuitiva de que esta no se cumple en el modelo considerado. Específicamente, construimos un modelo en el que la negación de la hipótesis del continuo se explica con intuiciones de probabilidad. Para esto nos basamos en un artículo de Scott, en el que realiza una prueba de la negación de la hipótesis del continuo a partir de álgebras booleanas que provienen de espacios de probabilidad. Esta prueba es en un marco más débil que la teoría de conjuntos de ZF, esencialmente en una teoría de reales de tercer orden (con reales, funciones y funcionales). En este trabajo, generalizamos la construcción de Scott a una teoría de los números reales expresada en lógica de orden superior, usando una presentación en el estilo de la teoría de tipos simples de Church. Para ello, introducimos la categoría de los B-conjuntos (a saber: conjuntos equipados con B-relaciones de equivalencia), en la cual modelamos nuestra teoría de orden superior. Finalmente, logramos adaptar la prueba de Scott para que la negación de la hipótesis del continuo tenga una explicación intuitiva en base a conceptos de reales aleatorios.