Sistemas parcialmente hiperbólicos en fibrados por círculos sobre superficies

Abstract

El contexto general en el que se enmarca esta tesis es el de dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en fibrados por círculos sobre superficies M → Σ. Estas 3-variedades se pueden clasificar mediante un invariante que se llama número de Euler, que es un número entero que denotaremos por e(M ). Un fibrado (su clase de difeomorfismos como variedad de dimensión tres) queda completamente determinado por su base Σ y su número de Euler e(M ). Los resultados previos conocidos hasta el momento son los siguientes: 1. Si la base del fibrado es la esfera S 2 entonces M no admite parcialmente hiperbólicos. (En particular, la esfera S 3 no admite sistemas parcialmente hiperbólicos). Esto es un trabajo de Burago e Ivanov del año 2008. 2. Cuando la base es el toro entonces todo fibrado M admite parcialmente hiperbólicos. De hecho, existe una clasificación de estos sistemas (Potrie- Hammerlindl). 3. Cuando la base Σ es una superficie hiperbólica, E. Ghys probó (entre otras cosas) que uno de estos fibrados admite un flujo de Anosov si y sólo si e(M ) es un divisor de la característica de Euler χ(Σ). Por lo tanto, cuando esto ocurre, M admite parcialmente hiperbólicos. El resultado central que probaremos en esta tesis es el siguiente: Teorema. Sea M una 3-variedad cerrada y orientable, que admite una estructura de fibrado por círculos sobre una superficie cerrada y orientable Σ. Entonces M admite un difeomorfismo parcialmente hiperbólico transitivo si y sólo si e(M ) divide a χ(Σ) (si y sólo si M admite un flujo de Anosov). Este trabajo fue hecho en colaboración con Rafael Potrie y Andrew Hammerlindl.