Geometría a gran escala de Grupos de Heintze

Abstract

Un teorema de Heintze del 74 ([Hei74]) muestra que toda variedad Riemanniana homogénea, conexa y de curvatura negativa es isométrica a un grupo de Lie soluble G dotado de una métrica invariante por traslaciones a izquierda. El grupo G resulta ser un producto semidirecto N oφ R, donde N es un grupo de Lie nilpotente y φ queda determinado por una derivación α en el álgebra de Lie de N, cuyos valores propios tienen parte real positiva. Estos son los llamados grupos de Heintze y los notamos N oα R. Como la elección de la métrica invariante a izquierda no cambia la clase de cuasiisometría de un grupo de Lie, la geometría a gran escala de estos sólo depende de su estructura como grupos de Lie. De aquí el afán por encontrar invariantes de cuasiisometría algebraicos. La conjetura más importante en este sentido es la siguiente: Dos grupos de Heintze puramente reales son cuasi-isométricos si y sólo si son isomorfos. Se dice que el grupo N oα R es puramente real si α tiene todos sus valores propios reales. Esta conjetura ha sido probada sólo en algunos casos particulares. Existen, sin embargo, algunos resultados un poco más débiles que pueden obtenerse en general, entre ellos la invarianza de ciertas estructuras algebraicas. Se prueba, luego de pasar por la demostración del teorema de Heintze y algunos preliminares, que el polinomio característico de la derivación α (a menos de multiplicarla por un real positivo) es invariante por cuasi-isometrías. Además veremos que si el grupo nilpotente N es un grupo de Heisenberg, entonces la forma de Jordan de la derivación (nuevamente a menos de homotecias) es invariante por cuasi-isometrías.